2019版高考数学一轮复*第8章*面解析几何8.2两条直线的位置关系课件文

发布时间:2021-08-04 19:21:28

第8章 *面解析几何
8.2 两条直线的位置关系

基础知识过关

[知识梳理] 1.两直线的*行、垂直与其斜率的关系

2.三种距离

3.常用的直线系方程 (1)与直线 Ax+By+C=0 *行的直线系方程是 Ax+By +m=0(m∈R 且 m≠C). (2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay +m=0(m∈R). (3)过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)= 0(λ∈R),但不包括 l2.

[诊断自测] 1.概念思辨 (1)如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定 等于-1.( × ) (2)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线 相交.( √ )

(3)已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2= 0(A1,B1,C1,A2,B2,C2 为常数),若直线 l1⊥l2,则 A1A2 +B1B2=0.( √ )
(4)若点 A,B 关于直线 l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线 AB 的斜率等于-1k,且线段 AB 的中点在直线 l 上.( √ )

2.教材衍化

(1)(必修 A2P89A 组 T1)若直线 l 经过点(a-2,-1)和(-

a-2,1),且与经过点(-2,1)、斜率为-23的直线垂直,则实

数 a 的值是( )

A.-23

B.-32

2

3

C.3

D.2

解析 由于直线 l 与经过点(-2,1)的斜率为-23的直线 垂 直 , 可 知 a - 2≠ - a - 2. 因 为 直 线 l 的 斜 率 k1 = -a1--2?--?1a?-2?=-1a,所以-1a·????-23????=-1,所以 a=-23. 故选 A.

(2)(必修 A2P101A 组 T11)已知直线 l:x-y-1=0,l1: 2x-y-2=0,若直线 l2 与 l1 关于 l 对称,则 l2 的方程是( )
A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0
解析 求出两条直线的交点坐标为(1,0),任取 l1 上一点 (2,2),求出其关于直线 x-y-1=0 的对称点为(3,1),之后 利用两点式求出 l2 的方程为 x-2y-1=0.故选 B.

3.小题热身 (1)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与 直线 l2:x+(a+1)y+4=0 *行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当 l1∥l2 时,得-a2=-a+1 1,解得 a=1 或 a= -2,代入检验符合,当 a=1 时,易知 l1∥l2,∴“a=1” 是“l1∥l2”的充分不必要条件,故选 A.

(2)(2017·广州模拟)直线 x-2y+1=0 关于 x=1 对称的 直线方程是( )
A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0
解析 由题意得直线 x-2y+1=0 与 x=1 的交点坐标 为(1,1),又直线 x-2y+1=0 上的点(-1,0)关于直线 x=1 对称的点为(3,0),所以由直线方程两点式,得1y--00=1x--33, 即 x+2y-3=0.故选 D.

经典题型冲关

题型 1 两直线的*行与垂直

典例1 已知两条直线 l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x

+ay+3=0 *行,则 a 等于( )

A.-1

B.2

C.0 或-2 D.-1 或 2

分类讨论法.

解析 若 a=0,两直线方程分别为-x+2y+1=0 和 x =-3,此时两直线相交,不*行,所以 a≠0;
当 a≠0 时,两直线*行,则有a-1 1=2a≠13,解得 a= -1 或 2.故选 D.

典例2 已知经过点 A(-2,0)和点 B(1,3a)的直线 l1 与 经过点 P(0,-1)和点 Q(a,-2a)的直线 l2 互相垂直,则实 数 a 的值为__1_或___0__.
分类讨论法.

解析 l1 的斜率 k1=1-3a?--02?=a. 当 a≠0 时,l2 的斜率 k2=-2aa--?0-1?=1-a2a. 因为 l1⊥l2, 所以 k1k2=-1,即 a·1-a2a=-1,解得 a=1. 当 a=0 时,P(0,-1),Q(0,0),这时直线 l2 为 y 轴, A(-2,0),B(1,0),直线 l1 为 x 轴,显然 l1⊥l2. 综上可知,实数 a 的值为 1 或 0.

方法技巧 研究两直线*行与垂直关系的解题策略
1.已知两直线的斜率存在. (1)两直线*行?两直线的斜率相等且在坐标轴上的截 距不等; (2)两直线垂直?两直线的斜率之积等于-1. 2.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线 的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜 率不存在的特殊情况,同时还要注意 x,y 的系数不能同时 为零这一隐含条件.

冲关针对训练

1.(2018·宁夏银川九中模拟)已知 b>0,直线(b2+1)x

+ay+2=0 与直线 x-b2y-1=0 垂直,则 ab 的最小值为

()

A.1

B.2

C.2 2

D.2 3

解析 由已知两直线垂直,得(b2+1)-ab2=0,即 ab2 =b2+1,又 b>0,∴ab=b+1b.由基本不等式得 b+1b≥2
b·1b=2,当且仅当 b=1 时等号成立,∴(ab)min=2.故选 B.

2.(2017·西安模拟)已知 a,b 为正数,且直线 ax+by -6=0 与直线 2x+(b-3)y+5=0 *行,则 2a+3b 的最小 值为___2_5____.
解析 由两直线*行可得,a(b-3)=2b,即 2b+3a= ab,2a+3b=1.又 a,b 为正数,所以 2a+3b=(2a+3b)·????2a+3b???? =13+6ba+6ab≥13+2 6ba·6ab=25,当且仅当 a=b=5 时 取等号,故 2a+3b 的最小值为 25.

题型 2 两条直线相交及距离问题 典例1 (2018·福建厦门联考)“C=5”是“点(2,1)到 直线 3x+4y+C=0 的距离为 3”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
直接求满足条件的 C 的取值再判定.

解析 点(2,1)到直线 3x+4y+C=0 的距离为 3 等价于 |3×2+324+×412+C|=3,解得 C=5 或 C=-25,所以“C=5” 是“点(2,1)到直线 3x+4y+C=0 的距离为 3”的充分不必 要条件,故选 B.

典例2 已知直线 y=kx+2k+1 与直线 y=-12x+2 的交点位于第一象限,则实数 k 的取值范围是__????_-__16_,__12_???? __.
画出直线 y=-12x+2,分析直线系 y= kx+2k+1 动态思考.

解析 如图,已知直线 y=-12x+2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(4,0),B(0,2). 而直线方程 y=kx+2k+1 可变形为 y-1=k(x+2),表 示这是一条过定点 P(-2,1),斜率为 k 的动直线.

∵两直线的交点在第一象限, ∴两直线的交点必在线段 AB 上(不包括端点), ∴动直线的斜率 k 需满足 kPA<k<kPB. ∵kPA=-16,kPB=12. ∴-16<k<12.

方法技巧 求过两直线交点的直线方程的方法
1.直接法 (1)先求出两直线的交点坐标. (2)结合题设中的其他条件,写出直线方程. (3)将直线方程化为一般式.

2.直线系法 (1)设过两直线 A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0 交 点的直线方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0. (2)利用题设条件,求 λ 的值,得出直线方程. (3)验证 A2x+B2y+C2=0 是否符合题意. (4)得出结论.

冲关针对训练 (2017·钦州期末)直线 l 过 P(1,2),且 A(2,3),B(4,-5) 到 l 的距离相等,则直线 l 的方程是( ) A.4x+y-6=0 B.x+4y-6=0 C.3x+2y-7=0 或 4x+y-6=0 D.2x+3y-7=0 或 x+4y-6=0

解析 由条件可知直线 l *行于直线 AB 或过线段 AB 的中点,
①AB 的斜率为32+ -54=-4,当直线 l∥AB 时,l 的方程 是 y-2=-4(x-1),即 4x+y-6=0.
②当直线 l 经过线段 AB 的中点(3,-1)时,l 的斜率为 21+ -13=-32,
l 的方程是 y-2=-32(x-1),即 3x+2y-7=0. 故所求直线的方程为 3x+2y-7=0 或 4x+y-6=0. 故选 C.

题型 3 对称问题 角度 1 对称问题的求法(多维探究)

典例 (2017·沧州模拟)已知直线 l:2x-3y+1=0, 点 A(-1,-2),则点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标为

__????-__31_33_,__1_43_????__.

此类问题用方程组法.

解析 设 A′(x,y),由已知条件得

???yx+ +21×23=-1, ????2×x-2 1-3×y-2 2+1=0, ∴A′????-3133,143????.

解得???? x=-3133, ???y=143.

[结论探究 1] 本例中条件不变,求直线 l 关于点 A(-1, -2)对称的直线 l′的方程.
解 ∵l∥l′, ∴设 l′的方程为 2x-3y+C=0(C≠1). ∵点 A(-1,-2)到两直线 l,l′的距离相等, ∴由点到直线的距离公式, 得|-22+2+6+32C|=|-22+2+6+321|,解得 C=-9, ∴l′的方程为 2x-3y-9=0.

[结论探究 2] 本例中条件不变,求直线 m:3x-2y-6 =0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程.

解 在直线 m 上取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直 线 l 的对称点 M′必在直线 m′上.
设对称点 M′(a,b),则

???2×????a+2 2????-3×????b+2 0????+1=0, ????ba- -02×23=-1,

得 M′????163,3103????.

设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则 由?????23xx- -32yy+ -16= =00, , 得 N(4,3). 又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0.

角度 2 对称问题的应用 典例 (2017·冀州市校级模拟 )在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=4,点 P 是边 AB 上异于 A,B 的一点.光 线从点 P 出发,经 BC,CA 反射后又回到点 P(如图).若光 线 QR 经过△ABC 的重心,则 AP 等于( )

A.2

B.1

8 C.3

4 D.3

光线反射问题.根据光线反射原理转化 为点关于直线对称问题.

解析 以 A 为原点,AB 为 x 轴,AC 为 y 轴建立直角 坐标系如图所示.
则 A(0,0),B(4,0),C(0,4), 设△ABC 的重心为 D,则 D 点坐标为????43,43????,设 P 点 坐标为(m,0),则 P 点关于 y 轴对称点 P1 为(-m,0),

因为直线 BC 方程为 x+y-4=0, 所以 P 点关于 BC 的对称点为 P2(4,4-m), 根据光线反射原理,P1,P2 均在 QR 所在直线上, 所以 kP1D=kP2D, 即43+43 m=43-43-4+4 m, 解得 m=43或 m=0.当 m=0 时,P 点与 A 点重合,故 舍去.所以 m=43.故选 D.

方法技巧 1.中心对称问题的 2 个类型及求解方法 (1)点关于点的对称 若点 M(x1,y1)及 N(x,y)关于 P(a,b)对称,则由中点 坐标公式得?????xy= =22ab- -xy11, , 进而求解.

(2)直线关于点的对称,主要求解方法是: ①在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关 于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程. ②求出一个对称点,再利用两对称直线*行,由点斜式 得到所求直线方程.

2.轴对称问题的 2 个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称 若两点 P1(x1,y1)与 P2(x2,y2)关于直线 l: Ax+By+C=0 对称,由方程组

???A????x1+2 x2????+B????y1+2 y2????+C=0, ????yx22- -yx11·????-AB????=-1,

可得到点 P1 关于 l 对

称的点 P2 的坐标(x2,y2)(其中 B≠0,x1≠x2).见角度 1 典例.

(2)直线关于直线的对称 一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一 是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴*行.

冲关针对训练

(2017·石家庄期末)设定点 A(3,1),B 是 x 轴上的动点,

C 是直线 y=x 上的动点,则△ABC 周长的最小值是( )

A. 5

B.2 5

C.3 5

D. 10

解析 作出点 A(3,1)关于 y=x 的对称点 A′(1,3),
关于 x 轴的对称点 A″(3,-1), 连接 A′A″,交直线 y=x 于点 C,交 x 轴于点 B, 则 AC=A′C,AB=A″B, ∴△ABC 周长的最小值为 |A′A″|= ?1-3?2+?3+1?2=2 5.故选 B.

真题模拟闯关

1.(2018·山西长治模拟)已知倾斜角为 α 的直线 l 与直线

x+2y-3=0 垂直,则 cos????20219π-2α????的值为(

)

4 A.5

B.-45

C.2

D.-12

解析 由题意知 tanα=2,又 α∈[0,π),∴sinα=25 5,

cosα= 55,则 cos????20219π-2α????=cos????32π-2α????=-sin2α=- 2sinαcosα=-45,故选 B.

2.(2017·天山期末)直线 a1x+b1y=2 和 a2x+b2y=2 交 于点 P(2,3),则过点 A(a1,b1)、B(a2,b2)的直线方程是( )
A.2x+3y-2=0 B.3x+2y-2=0 C.3x+2y+2=0 D.2x+3y+2=0
解析 ∵直线 a1x+b1y=2 和 a2x+b2y=2 交于点 P(2,3),
∴把 P(2,3)代入两直线得 2a1+3b1=2 和 2a2+3b2=2, 过点 A(a1,b1),B(a2,b2)的直线方程为 2x+3y=2 即 2x+3y-2=0,故选 A.

3.(2014·江苏高考)在*面直角坐标系 xOy 中,若曲线

y=ax2+bx(a,b 为常数)过点 P(2,-5),且该曲线在点 P 处

的切线与直线 7x+2y+3=0 *行,则 a+b 的值是___-__3___.

解析



y



ax2



b x





y′



2ax



b x2













??? 4a+b2=-5,
?
???4a-b4=-72,

解得?????ab= =- -12, . (经检验满足题意).

∴a+b=-3.

4.(2017·山西太原质检)光线从 A(-4,-2)点射出,射 到直线 y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上的 C 点, 又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点 D(-1,6),求 BC 所 在的直线方程.
解 作出草图,如图所示,设 A 关于直线 y=x 的对 称点为 A′,D 关于 y 轴的对称点为 D′,

则易得 A′(-2,-4),D′(1,6).由入射角等于反射 角可得 A′D′所在直线经过点 B 与 C.
故 BC 所在的直线方程为6y++44=1x++22. 即 10x-3y+8=0.


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