2012年高考真题分类汇编(全析全解)10:立体几何

发布时间:2021-06-13 12:34:30

2012 年高考真题理科数学解析汇编:立体几何
一、选择题 1 . (2012 年高考(新课标理) 已知三棱锥 S ? A B C 的所有顶点都在球 O 的求面上, ? A B C 是边长为 1 的 )

正三角形, S C 为球 O 的直径,且 S C ? 2 ;则此棱锥的体积为 A.
2 6

( D.
2 2



B.

3 6

C.

2 3

2 . (2012 年高考(新课标理) 如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出 )

的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. ??

( D. ??



3 . (2012 年高考(浙江理) 已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 .将 ? ABD 沿矩形的 )

对角线 BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中, A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直





4 . (2012 年高考(重庆理) 设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为 2 的 )

棱异面,则 a 的取值范围是 A. (0, 2 ) B. (0, 3 ) C. (1, 2 ) D. (1, 3 )





5 . (2012 年高考 (四川理) 如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在 )

A B D P α C O

*面 ? 内,过点 O 作*面 ? 的垂线交半球面于点 A ,过圆 O 的 直径 C D 作*面 ? 成 4 5 角的*面与半球面相交,所得交线上
?

到*面 ? 的距离最大的点为 B ,该交线上的一点 P 满足
? B O P ? 60 ,则 A 、 P 两点间的球面距离为
2 4
?


3 3



A. R arcco s

B.

?R
4

C. R arcco s

D.

?R
3

6 . (2012 年高考(四川理) 下列命题正确的是 )





A.若两条直线和同一个*面所成的角相等,则这两条直线*行 B.若一个*面内有三个点到另一个*面的距离相等,则这两个*面*行 C.若一条直线*行于两个相交*面,则这条直线与这两个*面的交线*行 D.若两个*面都垂直于第三个*面,则这两个*面*行 7 . (2012 年高考(上海春) 已知空间三条直线 l、 m 、 n . 若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则 ) ( ) A. m 与 n 异面. B. m 与 n 相交. C. m 与 n *行. D. m 与 n 异面、相交、*行均有可能. 8 . 2012 年 高 考 ( 陕 西 理 ) 如 图 , 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 有 直 三 棱 柱 ( )

[答]

A B C ? A1 B1C 1 , C A ? C C 1 ? 2 C B ,则直线 B C 1 与直线 A B1 夹角的余弦值为 (
5 5 5 3 2 5 5
3 5



A.

B.

C.

D.

9 . (2012 年高考(江西理) 如图,已知正四棱锥 S-ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一动点,过点 E )

垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记 SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积为 V(x),则函数 y=V(x)的图像大致为

10. (2012 年高考(湖南理) 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是 )

图1

A

B

C

D

11. (2012 年高考(湖北理) 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九 )

而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V ,求其直径 d 的一个* 似公式 d 的一个是 A. d
?
3

?

3

16 9

V

. 人们还用过一些类似的*似公式. 根据 π

=3.14159 ?

判断,下列*似公式中最精确 ( )

16 9

V

B. d

?

3

2V

C. d

?

3

300 157

V

D. d

?

3

21 11

V

(一)必考题(11—14 题)
12. (2012 年高考(湖北理) 已知某几何体的三视图如图所示,则该几 )

4 ( 俯视 2 4 图 ) 2 正视 图 2 侧视 图

何体的体积为 A. C.
8π 3

B. 3 π D. 6 π

10 π 3

13. (2012 年高考(广东理) (立体几何)某几何体的三视图如图 1 所示,它的体 )

积为 A. 1 2 ? B. 45? C. 57 ? D. 8 1?





14. (2012 年高考(福建理) 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 )

( A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱



15. (2012 年高考(大纲理) 已知正四棱柱 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 )

中, A B ? 2, C C 1 ? 2 2 , E 为 C C 1 的中点,则直线 A C 1 与
B E D 的距离为

*面 ( )

A.2 的表面积是 A. 28 ? 6 5

B. 3

C. 2

D.1 棱锥 ( )

16. (2012 年高考(北京理) 某三棱锥的三视图如图所示,该三 )

B. 30 ? 6 5

C. 56 ? 12 5

D. 6 0 ? 1 2 5

17. 2012 年高考 ( (安徽理) 设*面 ? 与*面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在*面 ? 内, )

直线 b 在*面 ? 内,且 b ? m ,则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 不必要条件
二、填空题 18. 2012 年高考 ( (天津理) ―个几何体的三视图如图所示(单位: m ), )
6

( D.即不充分



3
1

则该几何体的体积为______ m .
19. (2012 年高考(浙江理) 已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图 )
3

3

所示,则该三棱锥的体积等于___________cm .
20. 2012 年高考(四川理) 如图,在正方体 A B C D ? A1 B1 C1 D1 ( )

3 2 正视图

3 2 侧视图

3

中, M 、 N 分别是 C D 、C C 1 的中点,则异面直线 A1 M 与 D N
俯视图

D1 A1 B1

C1 N

所成角的大小是____________. 21. (2012 年高考(上海理) 如图,AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的 ) 棱,BC=2。若 AD=2c,且 AB+BD=AC+CD=2a,其中 a、c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最大值是 _________ . 22. (2012 年高考(上海理) 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2?的半圆 ) 面,则该圆锥的体积为_________ .
23. (2012 年高考(山东理) 如图,正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的棱长为 )

D

D
A

M B

C

C A B

1, E , F

分 别 为 线 段 A A1 , B1C 上 的 点 , 则 三 棱 锥 D1 ? E D F的 体 积 为 ____________.

24. (2012 年高考(辽宁理) 已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求面上,若 PA,PB,PC 两两 )

互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________.
25. (2012 年高考(辽宁理) 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______________. )

26 .( 2012 年 高 考 ( 江 苏 )) 如 图 , 在 长 方 体 A B C D ? A1 B1C 1 D1
A1

D1 B1

C1

中, A B ? A D ? 3cm , A A1 ? 2cm ,则四棱锥 A ? B B1 D 1 D 的体积为____cm .
27. (2012 年高考(大纲理) 三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,底面边长和侧棱长都 )

3

D A B

C

相等, ? B A A1 ? ? C A A1 ? 60 ? ,则异面直线 A B1 与 B C 1 所成角的余弦值 为_____________.
28. (2012 年高考(安徽理) 某几何体的三视图如图所示,该几 ) 何体的表面积是 _____ . 三、解答题 29. (2012 年高考(天津理) 如图,在四棱锥 P ? A B C D 中, P A )



*



A
0

B

C , DAC



AD

,

AB



B C , ? A B C = 45 , P A = A D = 2 , A C =1 .

(Ⅰ)证明 P C 丄 A D ; (Ⅱ)求二面角 A ? P C ? D 的正弦值;
0

P

(Ⅲ)设 E 为棱 P A 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 3 0 ,求 AE 的长.

30. (2012 年高考(新课标理) 如图,直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, A C ? B C ? )

1 2

A

A A1 B D 是棱 AA 1 的中 ,

C

点, DC 1 ? BD
D

(1)证明: DC 1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C 1 的大小.

31. (2012 年高考(浙江理) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形,且∠BAD=120°,且 PA⊥ )

*面 ABCD,PA= 2

6

,M,N 分别为 PB,PD 的中点.

(Ⅰ)证明:MN∥*面 ABCD; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A—MN—Q 的*面角的余弦值.

32. (2012 年高考(重庆理) (本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 4 分(Ⅱ)小问 8 分) )

如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 中,AB=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中点 (Ⅰ)求点 C 到*面 A1 A B B 1 的距离; (Ⅱ)若 A B1 ? A1C ,求二面角 A1 ? C D ? C 1 的*面角的余弦值.

33 .( 2012 年 高 考 ( 四 川 理 )) 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? A B C

中, ? A P B ? 9 0 , ? P A B ? 6 0 , A B ? B C ? C A ,*面 P A B ? * 面 ABC . (Ⅰ)求直线 P C 与*面 A B C 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角 B ? A P ? C 的大小.

?

?

P C

A

B

34. (2012 年高考(上海理) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点. )

已知 AB=2, AD=2 2 ,PA=2.求: (1)三角形 PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.

P E A B C D

35. (2012 年高考 (上海春) 如图,正四棱柱 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 的 )

底 面 边

长为 1 ,高为 2 , M 为线段 A B 的中点.求: (1)三棱锥 C 1 ? M B C 的体积; (2)异面直线 C D 与 M C 1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)
A1 D1 B1 C1

C D 36. (2012 年高考(陕西理) (1)如图,证明命题“ a 是*面 ? 内的一条直线, b 是 ? 外的一条直线( b 不垂 ) A B 直于 ? ), c 是直线 b 在 ? 上的投影,若 a ? b ,则 a ? c ”为真. M

(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假 (不需要证明)

37 .( 2012 年 高 考 ( 山 东 理 )) 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 , 四 边 形 A B C D 等 腰 梯 是

形, A B ∥ C D , ? D A B ? 60 , F C ? *面 A B C D , A E ? B D , C B ? C D ? C F . (Ⅰ)求证: B D ? *面 A E D ; (Ⅱ)求二面角 F ? B D ? C 的余弦值.

?

38 .( 2012 年 高 考 ( 辽 宁 理 ))
A B C ? A B C , ? B A C ? 90 ,
/ / / ?

如 图 , 直 三 棱 柱

A B ? A C ? ? A A , 点 M,N 分别为 A B 和 B C 的中点.
/

/

/

/

/ / (Ⅰ)证明: M N ∥*面 A A C C ;

/ (Ⅱ)若二面角 A ? M N ? C 为直二面角,求 ? 的值.

39. (2012 年高考(江西理) 在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,已知 A B ? A C ? A A1 ? )
A B C 的投影是线段 B C 的中点 O 。

5 , B C ? 4 ,在 A1 在底面

(1)证明在侧棱 A A1 上存在一点 E ,使得 O E ? *面 B B1C 1C ,并求出 A E 的长; (2)求*面 A1 B1C 与*面 B B1C 1C 夹角的余弦值。

40. (2012 年高考(江苏) 如图,在直三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 中, A1 B1 ? A1C 1 , D ,E 分别是棱 B C ,C C 1 上的点(点 )
D 不同于点 C ),且 A D ? D E ,F 为 B1 C 1 的中点.

求证:(1)*面 A D E ? *面 B C C 1 B1 ; (2)直线 A1 F / / *面 A D E .

41 .( 2012

如 图 5, 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ,PA⊥ * 面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E 是 CD 的中点. (Ⅰ)证明:CD⊥*面 PAE; (Ⅱ)若直线 PB 与*面 PAE 所成的角和 PB 与*面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P-ABCD 的体积.
年 高 考 ( 湖 南 理 ))

P

A

42. (2012 年高考(湖北理) 如图 1, ? A C B ? 45 ? , B C ? 3 ,过 )
AD ? BC

D E C 图5

动 点
AD

A



,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连接 AB,沿

B

将△ A B D 折

起,使 ? B D C ? 9 0 ? (如图 2 所示). (Ⅰ)当 B D 的长为多少时,三棱锥 A ? BC D 的体积最大;

(Ⅱ)当三棱锥 A ? B C D 的体积最大时,设点 E , M 分别为棱 B C , A C 的中点,试在 棱 C D 上确定一点 N ,使得 E N A
? BM

,并求 E N 与*面 B M N 所成角的大小. A M

B

D 图1

C B

D

. · E

C

图2

43. (2012 年高考(广东理) 如图 5 所示,在四棱锥 P ? A B C D 中,底面 ABC D 为矩形, P A ? *面 A B C D , )

点 E 在线段 P C 上, P C ? *面 B D E . (Ⅰ)证明: B D ? *面 P A C ; (Ⅱ)若 P A ? 1 , A D ? 2 ,求二面角 B ? P C ? A 的正切值.

44. (2012 年高考(福建理) 如图,在长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中 )
A B ? A D ? 1, E 为 C D 中点.

(Ⅰ)求证: B1 E ? A D1 (Ⅱ)在棱 A A1 上是否存在一点 P ,使得 D P / / *面 B1 A E ?若存在,求 A P 的长;若不存在,说明理由.[ (Ⅲ)若二面角 A ? B1 E ? A1 的大小为 3 0 ? ,求 A B 的长.

45. (2012 年高考(大纲理) (注意:在试题卷上作答无效)如图,四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 为菱 ) .........

形, P A ? 底面 A B C D , A C ? 2 2 , P A ? 2, E 是 P C 上的一 点, P E ? 2 E C . (1)证明: P C ? *面 B E D ; (2)设二面角 A ? P B ? C 为 9 0 ? ,求 P D 与*面 P B C 所成角的大小.
P

E B C

A D

46. (2012 年高考(北京理) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点, )

且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥*面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与*面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使*面 A1DP 与*面 A1BE 垂直?说明理由.

47 .( 2012 年 高 考 ( 安 徽 理 )) * 面 图 形 A B B1 A1C 1C 如 图 4 所 示 , 其 中 B B1C 1C 是 矩

形, B C ? 2, B B1 ? 4 , A B ? A C ?
A1 B1 ? A1C 1 ?

2 ,

5 .现将该*面图形分别沿 B C 和 B1 C 1 折叠,使 ? A B C 与 ? A1 B1 C 1 所在*面都

与*面 B B1C 1C 垂直,再分别连接 A A1 , B A1 , C A1 ,得到如图 2 所示的空间图形,对此空间图形解答 下列问题.

. (Ⅰ)证明: A A1 ? B C ; (Ⅱ)求 A A1 的长;

(Ⅲ)求二面角 A ? B C ? A1 的余弦值.

2012 年高考真题理科数学解析汇编:立体几何参考答案 一、选择题 1.

【解析】选 A
? A B C 的外接圆的半径 r ?

3 3

,点 O 到面 A B C 的距离 d ?

R ?r
2

2

?

6 3

S C 为球 O 的直径 ? 点 S 到面 A B C 的距离为 2 d ?

2 6 3

此棱锥的体积为 V ?

1 3

S ?ABC ? 2 d ?

1 3

?

3 4

?

2 6 3

?

2 6

另: V ?
2.

1 3

S ?ABC ? 2 R ?

3 6

排除 B , C , D

【解析】选 B 该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3 此几何体的体积为 V ?
1 3 ? 1 2 ? 6? 3? 3 ? 9

【答案】B 【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选项 B 是正确 的. 4. 【答案】A
3.

【解析】 B E ?

1? (

2 2

) ?
2

2 2

, BF ? BE , AB ? 2BF ?

2.

【考点定位】本题考查棱锥的结构特征,考查空间相象力,极限思想的运用,是中档题.
5.

[答案]A [解析] 以 O 为原点,分别以 OB、OC、OA 所在直线为 x、y、z 轴, 则? co s ? A O P ?
???? ???? AO ? PO R
2

?

2 4

,A (

2 2

R ,0 ,

2 2

R ), P (

1 2

R,

3 2

R ,0 )

? ? AOP ? arccos

2 4

? ,? A P ? R ? arccos

2 4

[点评]本题综合性较强,考查知识点较为全面,题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识 结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功. 6. [答案]C [解析]若两条直线和同一*面所成角相等,这两条直线可能*行,也可能为异面直线,也可能相交,所 以 A 错;一个*面不在同一条直线的三点到另一个*面的距离相等,则这两个*面*行,故 B 错;若两个 *面垂直同一个*面两*面可以*行,也可以垂直;故 D 错;故选项 C 正确. [点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知识的 定义、定理及公式. 7. D
8.





:







C A ? C C1 ? 2C B ? 2

,



???? ???? A B1 = (- 2, 2,1), C 1 B = (0, - 2,1)
???? ???? ???? ???? A B1 ×C 1 B (- 2 ) ? 0 co s < A B1 , C 1 B > = ???? ???? = A B1 C 1 B 2? ( 9? 5 2) + 1 1 5 5

, ,直线 B C 1 与直线 A B1 夹角为

= -

锐角,所以余弦值为
9.

5 5

,选 A.

A【解析】本题综合考查了棱锥的体积公式,线面垂直,同时考查了函数的思想,导数法解决几何问题等 重要的解题方法. (定性法)当 0 ? x ?
1 2 1 2

时,随着 x 的增大,观察图形可知, V ? x ? 单调递减,且递减的速度越来越快;当

? x ? 1 时,随着 x 的增大,观察图形可知, V

? x ? 单调递减,且递减的速度越来越慢;再观察各选项中

的图象,发现只有 A 图象符合.故选 A. 【点评】对于函数图象的识别问题,若函数 y ? f ? x ? 的图象对应的解析式不好求时,作为选择题,没必 要去求解具体的解析式,不但方法繁琐,而且计算复杂,很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃; 再次,作为选择题也没有太多的时间去给学生解答;因此,使用定性法,不但求解快速,而且准确节约时 间.
10. 【答案】D

【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知,原图下面图为圆柱 或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C 都可能是该几何体的俯视图,D 不可 能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形. 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是*年高考中的热点题型. 11.考点分析:考察球的体积公式以及估算. 解析:由 V ? 中代入得 ? ?
4? 3 ( d 2 ) ? d ?
3 3

6V

?

,设选项中常数为
6 ? 157 300

a b

,则 ? ?

6b a

;A 中代入得 ? ?
6 ? 11 21

6?9 16

? 3 .3 7 5 ,B

6 ?1 2

? 3 ,C 中代入得 ? ?

? 3 .1 4 ,D 中代和主得 ? ?

? 3 .1 4 2 8 5 7 ,由于 D

中值最接* ? 的真实值,故选择 D. 12.考点分析:本题考察空间几何体的三视图. 解析:显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分,并且有正视图知是一个 1/2 的圆柱 体,底面圆的半径为 1,圆柱体的高为 6,则知所求几何体体积为原体积的一半为 3 π .选 B.
2 13.解析:C.该几何体下部分是半径为 3,高为 5 的圆柱,体积为 V ? ? ? 3 ? 5 ? 45? ,上部分是半径为 3,高为

4 的圆锥,体积为 V ?
14. 【答案】D

1 3

? ? ? 3 ? 4 ? 1 2 ? ,所以体积为 57 ? .
2

【解析】分别比较 ABC 的三视图不符合条件,D 符合. 【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图,考查空间想象能力、逻辑推理能力. 15.答案 D 【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用,以及点到面的距离的求解.体现了转换与化归 的思想的运用,以及线面*行的距离,转化为点到面的距离即可.

【解析】连结 AC , BD 交于点 O ,连结 OE ,因为 O , E 是中点,所以 OE // AC 1 ,且 OE ?
AC 1 // BDE ,即直线 AC

1 2

AC 1 ,所以

1

与*面 BED 的距离等于点 C 到*面 BED 的距离,过 C 做 CF ? OE 于 F ,则
2 , CE ? 2 , OE ? 2 ,

CF 即为所求距离.因为底面边长为 2,高为 2 2 ,所以 AC ? 2 2 , OC ?

所以利用等积法得 CF ? 1 ,选 D.
16. 【答案】B

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和.利 用垂直关系和三角形面积公式,可得: S 底 ? 1 0, S 后 ? 1 0, S 右 ? 1 0, S 左 ? 6 5 ,因此该几何体表面积
S ? 3 0 ? 6 5 ,故选 B.

【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题,原来考查的是棱锥或棱柱的体积而今年者的 是表面积,因此考查了学生的计算基本功和空间想象能力. 17. 【解析】选 A ①? ? ? , b ? m ? b ? ? ? b ? a
二、填空题 18. 【答案】 18+9 ?

②如果 a / / m ;则 a ? b 与 b ? m 条件相同

【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力. 【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体 ,所以其体积 为: V = 3 ? 6 ? 1+ 2 ?
19. 【答案】1
4 3

? ?(

3 2

) = 18+9 ? m .
3

3

【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形,右侧面也是一直角三角形.故体积等于
20. [答案]90?
1 2 ? 3 ? 1? 2 ? 1 3 ?1.

[解析]方法一:连接 D1M,易得 DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M, 所以,DN⊥*面 A1MD1, 又 A1M ? *面 A1MD1,所以,DN⊥A1D1,故夹角为 90? 方法二:以 D 为原点,分别以 DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 D—xyz.设正方体边长为 2,则 D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2)
( MA ( ? 故, DN ? 0 , 2 ,1), 1 ? 2, 1, 2)

MA 所以,cos< ? DN , 1 ? ?

DN ? MA 1 | DN || MA
1

= 0,故 DN⊥D1M,所以夹角为 90?
|

[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线*移到同一*面中借助三角 形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决. 21. [解析] 作 BE⊥AD 于 E,连接 CE,则 AD⊥*面 BEC,所以 CE⊥AD, 由题设,B 与 C 都是在以 AD 为焦距的椭球上,且 BE、CE 都 D 垂直于焦距 AD,所以 BE=CE. 取 BC 中点 F, 连接 EF,则 EF⊥BC,EF=2, S ? BEC 四面体 ABCD 的体积 V ?
1 3

?

1 2

BC ? EF ?

BE
2

2

?1 ,

E B A

C

AD ? S ? BEC ?

2c 3

BE

? 1 ,显然,当 E 在 AD 中点,即
2c 3

B 是短轴端点时,BE 有最大值为 b= a 2 ? c 2 ,所以 V max ?

a ? c ?1.
2 2

[评注] 本题把椭圆拓展到空间,对缺少联想思维的考生打击甚大!当然,作为填空押轴题,区分度还是 要的,不过,就抢分而言,胆大、 灵活的考生也容易找到突破点:AB=BD(同时 AC=CD),从而致命一击,逃出 生天!
22. [解析] 如图, 1 ? l ? 2 ? ?l=2,又 2?r2=?l=2??r=1, 2
2

P l r P l h O 2?r

所以 h= 3 ,故体积 V ? 1 ? r h ? 3
2

3 3

? .
1 2

23. 【解析】因为 E 点在线段 AA 1 上,所以 S ? DED ?
1

?1?1 ?

1 2 1 3

,又因为 F 点在线段 B1C 上,所以点 F 到
? S ? DED 1 ? h ? 1 3 ? 1 2 ?1 ? 1 6

*面 DED 1 的距离为 1,即 h ? 1 ,所以 V D 【答案】
1 6

1

? EDF

? V F ? DED 1 ?

.

24. 【答案】

3 3

【解析】 因为在正三棱锥 P ? ABC 中,PA,PB,PC 两两互相垂直,所以可 以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分,(如图所示),此正方体 内接于球,正方体的体对角线为球的直径,球心为正方体对角线的中 点. 球心到截面 ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥 P ? ABC 在面 ABC 上 的 高.已知球的半径为 3 ,所以正方体的棱长为 2,可求得正三棱锥
2 3 3 2 3 3 3 3

P ? ABC 在面 ABC 上的高为

,所以球心到截面 ABC 的距离为 3 ?

?

【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思 想,该题灵活性较强,难度较大.该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到条件中的垂直关系,把 三棱锥转化为正方体来考虑就容易多了. 25. 【答案】38 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的长、宽、

高分别为 4、3、1,圆柱的底面直径为 2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再 减去圆柱的底面积,即为 2(3 ? 4 ? 4 ? 1 ? 3 ? 1) ? 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 ? ? 38 【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,属于 容易题.本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后再根据几何体的形状计 算出表面积. 26. 【答案】6. 【考点】正方形的性质,棱锥的体积. 【解析】∵长方体底面 ABC D 是正方形,∴△ A B D 中 B D = 3 2 cm, B D 边上的高是
A ? B B1 D 1 D 中 B B1 D1 D 上的高).

3 2

2 cm(它也是

∴四棱锥 A ? B B1 D 1 D 的体积为 ? 3 2 ? 2 ?
3

1

3 2

2 =6 .

27. 答案

6 6

【命题意图】本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解.用空间向量进行求解即可. 【 解 析 】 设 该 三 棱 柱 的 边 长 为 1, 依 题 意 有 A B ? 1
???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? A B ? A, A B ? C A C ? 1 1 ? ? ?? ???? A A , 则A B ? 1

???

???? ??? ???? ? ??? 2 ? ??? ???? ???? 2 ? 2 2 | A B1 | ? ( A B ? A A1 ) ? A B ? 2 A B ? A A1 ? A A1 ? 2 ? 2 co s 6 0 ? ? 3 ???? ? ???? ???? ??? ? ???? 2 ???? 2 ??? 2 ? ???? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? 2 2 | B C 1 | ? ( A C ? A A1 ? A B ) ? A C ? A A1 ? A B ? 2 A C ? A A1 ? 2 A C ? A B ? 2 A A1 ? A B ? 2



???? ???? ? ??? ???? ? ???? ???? ??? ? A B1 ? B C 1 ? ( A B ? A A1 ) ? ( A C ? A A1 ? A B )
??? ???? ??? ???? ??? ??? ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? ? ? ? ? A B ? A C ? A B ? A A1 ? A B ? A B ? A A1 ? A C ? A A1 ? A A1 ? A A1 ? A B ? 1 2 ? 1 2 ?1? 1 2 ?1? 1 2 ?1

???? ???? ? ???? ???? ? A B1 ? B C 1 ? ? co s ? A B1 , B C 1 ? ? ???? ???? ? | A B1 || B C 1 |

1 2? 3

?

6 6

28. 【答案】92

【解析】由三视图可知,原几何体是一个底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱,其底面积为
2? ( 2 ? 5) 4 2 ? 2 8 ,侧面积为 (4 ? 2 ? 5 ? 5) ? 4 ? 64 ,故表面积为 92.

【考点定位】考查三视图和表面积计算.
三、解答题 29. 【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,直线与*面垂直

等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能 力. 方法一:(1)以 A D , A C , A P 为 x , y , z 正半轴方向,建立空间直角左边系 A ? xyz 则 D ( 2, 0, 0 ), C (0,1, 0 ), B ( ?
1 1 , , 0 ), P (0, 0, 2 ) 2 2
???? ???? ??? ?

??? ? ???? ??? ???? ? P C ? (0,1, ? 2), A D ? (2, 0, 0) ? P C ?A D ? 0 ? P C ? A D

(2) P C ? (0,1, ? 2 ), C D ? (2, ? 1, 0 ) ,设*面 P C D 的法向量 n ? ( x , y , z )
? ???? ? ? n ?P C ? 0 ? y ? 2z ? 0 ? y ? 2z ? ? ? ? ? 则 ? ? ???? 取 z ? 1 ? n ? (1, 2,1) ?2 x ? y ? 0 ? x ? z ? n ?C D ? 0 ?
???? A D ? (2, 0, 0) 是*面 P A C 的法向量

??? ?

????

?

???? ? ???? ? ???? ? A D ?n 6 co s ? A D , n ? ? ???? ? ? ? sin ? A D , n ? ? 6 AD n

30 6

得:二面角 A ? P C ? D 的正弦值为
??? ?

30 6

(3)设 A E ? h ? [0, 2 ] ;则 A E ? (0, 0, 2) , B E ? ( , ?
??? ???? ? ??? ???? ? B E ?C D co s ? B E , C D ? ? ??? ???? ? ? BE CD

??? ?

1

1 2

???? , h ), C D ? ( 2, ? 1, 0 )
10 10
10 10

2
3 10 ? 20h
2

?

3 2

? h ?

即 AE ?

方法二:(1)证明,由 P A ? *面 A B C D ,可得 P A ? A D ,又由
A D ? A C, P A? A C ? A ,故 A D ? *面 P A C ,又 P C ? *面

PAC , 所

以 PC ? AD . (2) 解 : 如 图 , 作 A H ? P C 于 点 H , 连 接 D H , 由
PC ? AD , PC ? AH

, 可 得 PC ?

* 面 A D H. 因

此, D H ? P C ,从而 ? A H D 为二面角 A ? P C ? D 的*面角. 在 R t ? P A C 中 , P A ? 2, A C ? 1 , 由 此 得 A H ?
2 5
2 30 5 AD DH 30 6

, 由 (1)知

A D ? A H ,故在 R t ? D A H 中, D H ?

AD ? AH
2

2

?

,因此 sin ? A H D ?

?

,所以

二面角 A ? P C ? D 的正弦值为

30 6

.

【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们*时练*的试题相似,但底面是非特殊 的四边形,一直线垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是第三问中点 E 的位置是不确定的,需 要学生根据已知条件进行确定,如此说来就有难度,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好. 30. 【解析】(1)在 R t ? D A C 中, A D ? A C 得: ? A D C ? 4 5
?

同理: ? A1 D C 1 ? 4 5 ? ? C D C 1 ? 9 0

?

?

得: D C 1 ? D C , D C 1 ? B D ? D C 1 ? 面 B C D ? D C 1 ? B C (2) D C 1 ? B C , C C 1 ? B C ? B C ? 面 A C C 1 A1 ? B C ? A C 取 A1 B1 的中点 O ,过点 O 作 O H ? B D 于点 H ,连接 C 1O , C 1 H
A1C 1 ? B1C 1 ? C 1O ? A1 B1 ,面 A1 B1C 1 ? 面 A1 B D ? C 1O ? 面 A1 B D O H ? B D ? C 1 H ? B D 得:点 H 与点 D 重合

且 ? C 1 D O 是二面角 A1 ? BD ? C 1 的*面角
2a 2
?

设 A C ? a ,则 C 1 O ?

, C1 D ?
?

2 a ? 2 C 1O ? ? C 1 D O ? 3 0

既二面角 A1 ? BD ? C 1 的大小为 30 (Ⅰ)如图连接 BD. ∵M,N 分别为 PB,PD 的中点, ∴在 ? PBD 中,MN∥BD.

31. 【解析】本题主要考察线面*行的证明方法,建系求二面角等知识点.

又 MN ? *面 ABCD, ∴MN∥*面 ABCD; (Ⅱ)如图建系:

A(0,0,0),P(0,0, 2 N(
3

6

),M( ?

3 2

, ,0),
2

3

,0, 0),C(

3

,3,0).
? (x ? ??? ? 3, y ? 3, z ),C P ? ( ? 3, 3, 6 ) ? 2

设 Q(x,y,z),则 C Q ∵ CQ
????

????

. .
)

??? ? ? ? C P ? ( ? 3?, 3?, 6 ? ) ? 2

,∴ Q (
? 1 3

3?

3?, ? 3?, 6 ? ) 3 2
2 3 3

由 OQ

????

??? ? ? CP

?

???? ??? ? OQ ? CP ? 0

,得: ?
?

. .

即: Q (

, 2,

2 6 3

.

对于*面 AMN:设其法向量为 n ∵ AM
???? ? ? (? 3

? ( a, b, c )

???? 3 , , 0 ), A N = ( 3,0 ,0 ) . 2 2

???? ? ? ? AM ? n ? 0 ? 则 ? ???? ? ? AN ? n ? 0 ?

?

? 3 3 a? b ? 0 ?? 2 2 ? ? 3a ? 0 ?

?

? 3 ?a ? 3 ? 1 ? ?b ? 3 ? ?c ? 0 ? ?
6)

. ∴n

?

? (

3 3



1 3

,0 )

.

同理对于*面 AMN 得其法向量为 v

?

? ( 3,1,?

.

记所求二面角 A—MN—Q 的*面角大小为 ? ,
? ? n?v 则 co s ? ? ? ? ? n ? v 10 5

.

∴所求二面角 A—MN—Q 的*面角的余弦值为 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
10 5

10 5

.

.

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)

33 3

.

32. 【考点定位】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面垂直的关系,二面角的求法及空间

向量在立体几何中的应用,解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征,熟练进行线线垂直与线面 垂直的转化,主要考查学生的空间想象能力与推理论证能力.本题可以利用空间向量来解题,从而降低 了题目的难度. 解 :(1) 由 A C ? B C , D 为 A B 的 中 点 , 得 C D ? A B , 又
C D ? A A1 ,故 C D ? 面 A1 A B B1 ,所以点 C 到*面 A1 A B B1 的

距 离 为

CD ?

BC ? BD
2

2

?

5

(2) 如 图 , 取 D 1 为 A1 B1 的 中 点 , 连 结 D D 1 , 则
D D 1∥ A A1∥ C C 1 , 又 由 (1) 知 C D ? 面 A1 A B B1 , 故 C D ? A1 D C D ? D D 1 ,所以 ? A1 D D1 为所求的二面角 A1 ? C D ? C 1 的*面角.

因 A1 D 为 A1C 在面 A1 A B B1 上的射影,又已知 A B1 ? A1C ,由三垂线定理的逆定理得 A B1 ? A1 D ,从而
? A1 A B1 , ? A1 D A 都 与 ? B1 A B 互 余 , 因 此 ? A1 A B ? ? A D , 所 以 R t? A A D A ? 1 1 1
A A1 AD ? A1 B1 A A1
2 ,即 A A1 ? A D ?A1 B1 ? 8 ,得 A A1 ? 2 2 .

R t1 B A 因 ? , A 1

此,

从而 A1 D ?

A A1 ? A D
2

2

? 2 3 ,所以,在 R t ? A1 D D 1 中, co s A1 D D 1 ?

D D1 A1 D

?

A A1 A1 D

?

6 3

33. [解析](1)连接 OC.由已知, ? OCP 为直线 PC 与*面 ABC 所成的角

设 AB 的中点为 D,连接 PD、CD. 因为 AB=BC=CA,所以 CD ? AB. 因为 ? APB ? 90 ?, ? PAB ? 60 ?,所以 ? PAD 为 等边三角形, 不妨设 PA=2,则 OD=1,OP= 3 ,AB=4. 所以 CD=2 3 ,OC= OD
2

? CD

2

?

1 ? 12 ?
3 13

13 .
39 13
39 13

在 Rt ? OCP 中,tan ? OPC ?

OP OC

?

?

.

故直线 PC 与*面 ABC 所成的角的大小为 arctan (2)过 D 作 DE ? AP 于 E,连接 CE. 由已知可得,CD ? *面 PAB. 根据三垂线定理可知,CE⊥PA,

所以, ? CED 为二面角 B — AP — C 的*面角 .

由(1)知,DE= 3 在 Rt△CDE 中,tan ? CED ?
CD DE ? 2

故 二面角 B — AP — C 的大小为 arctan 2 [点评]本小题主要考查线面关系、直线与*面所成的角、二面角等基础知识,考查思维能力、空间想 象能力,并考查应用向量知识解决数学问题的能力. 34. [解](1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD,又 AD⊥CD,所以 CD⊥*面 PAD, 从而 CD⊥PD 因为 PD= 2 ? ( 2 2 ) ? 2 3 ,CD=2,
2 2

所以三角形 PCD 的面积为 1 ? 2 ? 2 3 ? 2 3 2 (2)[解法一]如图所示,建立空间直角坐标系, 则 B(2, 0, 0),C(2, 2
AE ? (1,
2

,0),E(1,

2

, 1), z P E

2 , 1) , BC ? ( 0 , 2 2 , 0 )

设 AE 与 BC 的夹角为?,则
cos ? ?
AE ? BC | AE || BC |

?

4 2? 2 2

?

2 2

,?= ?4 . B x

A C P F A B C E

D

y

由此可知,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 ?4 [解法二]取 PB 中点 F,连接 EF、AF,则 EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角 在 ? AEF 中,由 EF= 2 、AF= 2 、AE=2 知 ? AEF 是等腰直角三角形, 所以∠AEF= ?4 . 因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 ?4
35.解(1) S ? A B C ?
1 2 ?1? 1 2 ? 1 4

D

,又 C C 1 为三棱锥 C 1 ? M B C 的高,? V C ? M B C ?
1

1 3

S ?ABC ? C C1 ?

1 3

?

1 4

?2?

1 6

(2)? C D / / A B ,所以 ? C 1 M B 或其补角为导面直线 C D 与 M C 1 所成的角. 连接 B C 1 ,? A B ? *面 B C C 1 B ,? A B ? B C 1 ,在 R t ? M B C 1 中, B C 1 ?
5 1 2

4 ?1 ?

5, MB ?

1 2

tan ? C 1 M B ?

? 2 5 , 故 ? ? C 1 M B ? arctan 2 5 , 即 异 面 直 线 C D 与 M C 1 所 成 的 角 为

arctan 2 5

36. 解析:(1)证法一

如图,过直线 b 上任一点作*面 ? 的垂线 n ,设直线 a , b , c , n 的方向向量分别是

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a , b , c , n ,则 b , c , n 共面,根据*面向量基本定理,存在实数 ? , ? 使得 c ? ? b ? ? n

则 a ? c ? a ?( ? b ? ? n ) ? ? ( a ? b ) ? ? ( a ? n ) 因为 a ? b ,所以 a ? b ? 0 又因为 a ? ? , n ? ? ,所以 a ? n ? 0 故 a ? c ? 0 ,从而 a ? c 证法二 如图,记 c ? b ? A , P 为直线 b 上异于点 A 的任意一点,过 P 作 P O ? ? ,垂足为 O,则 O ? c ∵ P O ? ? , a ? ? ,∴直线 P O ? a 又 a ? b , b ? *面 P A O , P O ? b ? P ∴ a ? *面 P A O ,又 c ? *面 P A O ,∴ a ? c (2)逆命题:a 是*面 ? 内一条直线, b 是 ? 外的一条直线( b 不垂直于 ? ), c 是直线 b 在 ? 上的投影, 若 a ? c ,则 a ? b . 逆命题为真命题. 37. 解析:(Ⅰ)在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD, 由 余 弦 定 理 可 知
BD
2

? ?

?? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? CD

2

? CB

2

? 2 CD ? CB ? cos( 180

0

? ? DAB ) ? 3 CD ,
2

即 BD ?
? ABD

3 CD ?

3 AD ,在 ? ABD 中,∠DAB=60°, BD ?

3 AD ,



为 直 角 三 角 形 , 且 AD ? DB . 又 AE⊥BD, AD ? *面 AED, AE ? *面 AED,且 AD ? AE ? A ,故 BD⊥*面 AED; (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可 知 AC ? CB , 设 CB ? 1 , 则
CA ? BD ? 3 ,建立如图所示的空间直角坐
3 2 1 2

z

标 系 , F ( 0 , 01 ), B ( 0 ,1, 0 ), D (

,?

,0 ) , 向 量

n ? ( 0 , 0 ,1) 为*面 BDC 的一个法向量.

设向量 m ? ( x , y , z ) 为*面 BDF 的法向量,则
? 3 3 ? ? ? m ? BD ? 0 ,即 ? 2 x ? 2 y ? 0 , ? ? m ? FB ? 0 ? y? z ? 0 ? ?

x

y

取 y ? 1 ,则 x ?

3 , z ? 1 ,则 m ? ( 3 ,1,1) 为*面 BDF 的一个法向量.

cos ? m , n ??

m ?n m n

?

1 5

?

5 5

,而二面角 F-BD-C 的*面角为锐角,则

二面角 F-BD-C 的余弦值为

5 5

.

解法二:取 B D 的中点 G ,连接 C G 1 , F G ,由于 C B ? C D ,因此 C G ? BD , 又 F C ? *面 A B C D , B D ? *面 A B C D ,所以 F C ? B D 由于 F C ? C G ? C , F C , C G ? *面 F C G ,所以 B D ? *面 F C G 故 B D ? F G , 所 以 ? F G C 为 二 面 角 F ? B D? C的 * 面 角 . 在 等 腰 三 角 形 B C D 中 , 由 于
? B C D ? 120 ? ,因为 C G ?

1 2

C B ,又 C B ? C F ,所以 G F ?

CG ? CF
2

2

?

5C G ,

故 co s ? F G C ?
38. 【答案及解析】

5 5

,因此二面角 F ? B D ? C 的余弦值为

5 5

.

(1) 证明:取 A ' B ' 中点 P,连结 MP,NP,而 M,N 分别是 A B ' 与 B ' C ' 的中点,所以, MP∥A A ' ,PN∥ A ' C ' , 所 以 ,MP∥ * 面 A ' AC C ' ,PN∥ * 面
A ' AC C ' ,又 M P ? N P ? p ,因此*面 MPN∥*面 A ' AC C ' ,而

MN ? *面 MPN,所以,MN∥*面 A ' AC C ' ,

【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面*行的判定,借助空间直角坐标系求*面的法向 量的方法,并利用法向量判定*面的垂直关系,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难 度适中.第一小题可以通过线线*行来证明线面*行,也可通过面面*行来证明. 39. 【解析】 解:(1)证明:连接 AO,在 ? A O A1 中,作 O E ? A A1 于点 E,因为 A A1 // B B1 ,得 O E ? B B1 , 因为 A1O ? *面 ABC,所以 A1O ? B C ,因为 A B ? A C , O B ? O C , 得 A O ? B C ,所以 B C ? *面 A A1O ,所以 B C ? O E , 所以 O E ? *面 B B1C 1C , 又 AO ? 得 AE ?
AB ? BO
2 2

z C1 B1

A1 1

? 1, A A1 ?

5,

E x A y B O

AO

2

?

5 5

A A1

C

(2)如图所示,分别以 O A , O B , O A1 所在的直线 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0), C(0,-2,0), A1(0.0,2),B(0,2,0)

1 ???? 4 2 4 2 A A1 得点 E 的坐标为 ( , 0, ) ,由(1)可知*面 B B1 C 1C 的法向量是 ( , 0, ) ,设* 5 5 5 5 5 ? 面 A1 B1C 的法向量 n ? ( x , y , z ) ,

由(1)可知 A E ?

??? ?

? ?n ? ? 由?? ?n ? ?

??? ? ? AB ? 0 ?? x ? 2 y ? 0 ,得 ? ,令 y ? 1 ,得 x ? 2, z ? ? 1 ,即 n ? ( 2,1, ? 1) ???? A1 C ? 0 ?y ? z ? 0

??? ? ? ??? ? ? OE ? n 30 ? ?? ? ? 所以 co s ? O E , n ? ? ???? 10 | OE | ? | n |

即*面*面 A1 B1C 与*面 BB1C1C 夹角的余弦值是

30 10

.

【点评】本题考查线面垂直,二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的能力. 高 考中,立体几何解答题一般有以下三大方向的考查.一、考查与垂直,*行有关的线面关系的证明;二、 考查空间几何体的体积与表面积;三、考查异面角,线面角,二面角等角度问题.前两种考查多出现在第 1 问,第 3 种考查多出现在第 2 问;对于角度问题,一般有直接法与空间向量法两种求解方法.
40. 【答案】证明:(1)∵ A B C ? A1 B1 C 1 是直三棱柱,∴ C C 1 ? *面 A B C .

又∵ A D ? *面 A B C ,∴ C C 1 ? A D . 又∵ A D ? D E ,C C 1, D E ? *面 B C C 1 B1, C C 1 ? D E ? E ,∴ A D ? *面 B C C 1 B1 . 又∵ A D ? *面 A D E ,∴*面 A D E ? *面 B C C 1 B1 . (2)∵ A1 B1 ? A1C 1 , F 为 B1 C 1 的中点,∴ A1 F ? B1 C 1 . 又∵ C C 1 ? *面 A1 B1 C 1 ,且 A1 F ? *面 A1 B1 C 1 ,∴ C C 1 ? A1 F . 又∵ C C 1,B1C 1 ? *面 B C C 1 B1 , C C 1 ? B1 C 1 ? C 1 ,∴ A1 F ? *面 A1 B1 C 1 . 由(1)知, A D ? *面 B C C 1 B1 ,∴ A1 F ∥ A D . 又∵ A D ? *面 A D E , A1 F ? *面 A D E ,∴直线 A1 F / / *面 A D E 【考点】直线与*面、*面与*面的位置关系. 【解析】 (1)要证*面 A D E ? *面 B C C 1 B1 ,只要证*面 A D E 上的 A D ? *面 B C C 1 B1 即可.它可由已知
A B C ? A1 B1 C 1 是直三棱柱和 AD ? D E 证得.

(2)要证直线 A1 F / / *面 A D E ,只要证 A1 F ∥*面 A D E 上的 A D 即可.
41. 【解析】

解法 1(Ⅰ如图(1)),连接 AC,由 AB=4, B C ? 3 , ? A B C ? 9 0 , 得 A C ? 5 .
又 A D ? 5, E 是 CD 的中点,所以 C D ? A E .

?

? P A ? * 面 A B C D , C D ? * 面 A B C D , 所以 P A ? C D .

而 P A , A E 是 * 面 P A E 内的两条相交直线,所以 CD⊥*面 PAE. (Ⅱ)过点 B 作 B G ? ? C D , 分 别 与 A E , A D 相 交 于 F , G , 连 接 P F . 由(Ⅰ)CD⊥*面 PAE 知,BG⊥*面 PAE.于是 ? B P F 为直线 PB 与*面 PAE 所成的角,且 B G ? A E . 由 P A ? * 面 A B C D 知, ? P B A 为直线 P B 与*面 A B C D 所成的角.
A B ? 4, A G ? 2, B G ? A F , 由题意,知 ? P B A ? ? B P F ,

因为 sin ? P B A ?

PA PB

, sin ? B P F ?
?

BF PB

, 所以 P A ? B F .

由 ? D AB ? ? ABC ? 90 知 , AD / / BC , 又 BG / /C D , 所 以 四 边 形 BC D G 是 * 行 四 边 形 , 故
G D ? B C ? 3. 于是 A G ? 2.

在 R tΔ B A G 中, A B ? 4, A G ? 2, B G ? A F , 所以
AB
2

BG ?

AB ? AG
2

2

? 2 5, BF ?

?

16 2 5

?

8 5 5

.

BG
8 5 5

于是 P A ? B F ?

.

又梯形 A B C D 的面积为 S ?
1 3 1 3

1 2

? (5 ? 3) ? 4 ? 1 6, 所以四棱锥 P ? A B C D 的体积为

V ?

? S ? PA ?

? 16 ?

8 5 5

?

128 5 15

.

解法 2:如图(2),以 A 为坐标原点, A B , A D , A P 所在直线分别
P

z

为 各 点 坐

x 轴 , y 轴 , z 轴 建立空间直角坐标系.设 P A ? h , 则相关的
h

标为:
B x

A
4 3

5

D y E

C 图 ②

A (4, 0, 0), B (4, 0, 0), C (4, 3, 0), D (0, 5, 0), E (2, 4, 0), P (0, 0, h ).

(Ⅰ)易知 C D ? ( ? 4, 2, 0), A E ? (2, 4, 0), A P ? (0, 0, h). 因为
???? ??? ? ???? ??? ? C D ? A E ? ? 8 ? 8 ? 0 ? 0, C D ? A P ? 0, 所以 C D ? A E , C D ? A P . 而 A P , A E 是*面 P A E 内的两条

??? ?

??? ?

??? ?

相交直线,所以 C D ? * 面 P A E .

(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知, C D , A P 分别是 * 面 P A E , * 面 A B C D 的法向量,而 PB 与
* 面 P A E 所成的角和 PB 与 * 面 A B C D 所成的角相等,所以

???? ??? ?

???? ??? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ??? ??? ? ? CD ? PB PA ? PB co s ? C D , P B ? ? co s ? P A , P B ? , 即 ???? ??? ? ??? ??? . ? ? ? CD ? PB PA ? PB
???? ??? ? ??? ?

由(Ⅰ)知, C D ? ( ? 4, 2, 0 ), A P ? (0, 0, ? h ), 由 P B ? ( 4, 0, ? h ), 故
?16 ? 0 ? 0 2 5 ? 16 ? h
2

?

0?0?h

2

h ? 16 ? h

.
2

解得 h ?

8 5 5

.
1 2 ? (5 ? 3) ? 4 ? 1 6 ,所以四棱锥 P ? A B C D 的体积为

又梯形 ABCD 的面积为 S ?
1 3 1 3

V ?

? S ? PA ?

? 16 ?

8 5 5

?

128 5 15

.

【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明
P A ? C D 即可,第二问算出梯形的面积和棱锥的高,由 V ?

1 3

? S ? P A 算得体积,或者建立空间直角

坐标系,求得高几体积. 42.考点分析:本题考察立体几何线面的基本关系,考察如何取到最值,用均值不等式和导数均可求最值.同 时考察直线与*面所成角.本题可用综合法和空间向量法都可以.运用空间向量法对计算的要求要高 些. 解析: (Ⅰ)解法 1:在如图 1 所示的△ A B C 中,设 B D ? x (0 ? x ? 3) ,则 C D ? 3 ? x . 由 A D ? B C , ? A C B ? 4 5 ? 知,△ A D C 为等腰直角三角形,所以 AD ? C D ? 3 ? x . 由折起前 A D ? B C 知,折起后(如图 2), A D ? D C , A D ? B D ,且 B D ? D C ? D , 所以 A D
V A ? BCD ?
?

*面 B C D .又 ? B D C
A D ? S ?BCD ? 1 3
3

? 90

?

,所以 S ? B C D
1 12

?

1 2

BD ? CD ?

1 2

x (3 ? x )

.于是

1 3

(3 ? x ) ?

1 2

x (3 ? x ) ?

? 2 x (3 ? x )(3 ? x )

?

1 ? 2 x ? (3 ? x ) ? (3 ? x ) ? 2 ? ? ? 3 12 ? 3 ?

,

当且仅当 2 x ? 3 ? x ,即 x ? 1 时,等号成立, 故当 x ? 1 ,即 B D ? 1 时, 三棱锥 A ? B C D 的体积最大. 解法 2: 同解法 1,得 V A ? B C D ? 令
f (x) ? 1 6
3 2

1 3

A D ? S ?BCD ?

1 3

(3 ? x ) ?
1 2

1 2

x (3 ? x ) ?

1 6

( x ? 6 x ? 9 x)
3 2

.
?1.

(x ? 6 x ? 9 x)

,由

f ?( x ) ?

( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,且 0 ? x ? 3

,解得 x

当 x ? (0, 1) 时, f ?( x ) ? 0 ;当 x ? (1, 3) 时, 所以当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最大值.

f ?( x ) ? 0

.

故当 B D ? 1 时, 三棱锥 A ? B C D 的体积最大. (Ⅱ)解法 1:以 D 为原点,建立如图 a 所示的空间直角坐标系 D 由(Ⅰ)知,当三棱锥 A ? 于是可得 D (0, 且 BM
???? ?

? xyz

.
1 2

BCD

的体积最大时, B D , A (0,

? 1 , AD ? CD ? 2

.
, 1, 0 )

0, 0)

, B (1,

0, 0 ) , C (0, 2 , 0)

0, 2 ) , M (0, 1, 1)

,E(

,

? ( ? 1, 1, 1)

.
? (? 1 2 , ? ? 1, 0 )

设 N (0, ? , 0 ) ,则 E N
(? 1 2

????

. 因为 E N ,故 ?
? 1 2

? BM

等价于 E N
1 2 , 0)

???? ???? ? ? BM ? 0

,即

, ? ? 1, 0 ) ? ( ? 1, 1, 1) ?
? 1 2

1 2

? ? ?1? 0

, N (0,

.
? BM

所以当 D N

(即 N 是 C D 的靠*点 D 的一个四等分点)时, E N
????

.

???? ?n ? BN , ? 设*面 B M N 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) ,由 ? ???? ? ?n ? BM , ?

及 BN

? ( ? 1,

1 2

, 0)

,

得?

? y ? 2 x, ? z ? ? x.

可取 n

? (1, 2, ? 1)

.
???? 1 2 1 2

设 E N 与*面 B M N 所成角的大小为 ? ,则由 E N
1 ???? | ? ?1| n ? EN 3 2 ???? ? sin ? ? co s(9 0 ? ? ) ? ? 2 | n | ? | EN | 2 6? 2
?

? (?

,?

, 0 ) , n ? (1, 2, ? 1)

,可得

,即 ?

? 60

?

.

故 E N 与*面 B M N 所成角的大小为 6 0 ? .

z A M

A M

DN B x E 图a C y B

DN E 图b

F

C M

解法 2:由(Ⅰ)知,当三棱锥 A ? B C D 的体积最大时, B D ? 1 , A D ? C D ? 2 . 如图 b,取 C D 的中点 F ,连结 M F , B F , E F ,则 M F ∥ A D . 由(Ⅰ)知 A D ? *面 B C D ,所以 M F ? *面 B C D . 如图 c,延长 F E 至 P 点使得 F P ? D B ,连 B P , D P ,则四边形 D B P F 为正方形, 所以 D P ? B F . 取 D F 的中点 N ,连结 E N ,又 E 为 F P 的中点,则 E N ∥ D P , 所以 E N ? B F . 因为 M F ? *面 B C D ,又 E N ? 面 B C D ,所以 M F ? E N . 又 M F ? B F ? F ,所以 E N ? 面 B M F . 又 B M ? 面 B M F ,所以 E N ? B M . 因为 E N 即当 D N
? BM
? 1 2

当且仅当 E N

? BF

,而点 F 是唯一的,所以点 N 是唯一的.
? BM

(即 N 是 C D 的靠*点 D 的一个四等分点), E N
? NM ? EB ? EM ? 5 2

.

连接 M N , M E ,由计算得 N B

,

所以△ N M B 与△ E M B 是两个共底边的全等的等腰三角形, 如图 d 所示,取 B M 的中点 G ,连接 E G , N G , 则 B M ? *面 E G N .在*面 E G N 中,过点 E 作 E H ? G N 于 H , 则 E H ? *面 B M N .故 ? E N H 是 E N 与*面 B M N 所成的角. 在△ E G N 中,易得 E G
? GN ? NE ? 2 2

,所以△ E G N 是正三角形,

故 ? E N H ? 60 ? ,即 E N 与*面 B M N 所成角的大小为 6 0 ? . 43. 解 析 :(Ⅰ) 因 为 P C ? * 面 B D E , B D ? * 面 B D E , 所 以 P C? B D .又因为 P A ? *面 A B C D , B D ? *面 A B C D ,所以 P A ? B D .而 P C ? P A ? P , P C ? *面 P A C , P A ? *面 P A C , 所以 B D ? *面 P A C . (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可 知 B D ? * 面 P A C , 而 A C ? * 面 P A C , 所 以 B D ? A C , 而 A B C D 为 矩 形 , 所 以 A B C D为 正 方 形 , 于 是 A B? A D 2 . ? 法 1:以 A 点为原点, A B 、 A D 、 A P 为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系 A ? BD P .则 P ? 0, 0,1 ? 、
???? ??? ? C ? 2, 2, 0 ? 、 B ? 2, 0, 0 ? 、 D ? 0, 2, 0 ? ,于是 B C ? ? 0 , 2 , 0? , P B ? ? 2, 0, ? 1 ? .设*面 P B C 的一个法向量为

n1 ?

? x, y, z ?

???? ? n1 ? B C ? 0 ?2 y ? 0 ? ,则 ? ,从而 ? ,令 x ?1 ,得 ??? ? ?2x ? z ? 0 ? n1 ? P B ? 0 ?

???? n 1 ? ? 1, 0, 2 ? .而*面 P A C 的一个法向量为 n 2 ? B D ? ? ? 2, 2, 0 ? .所








n1 ? n 2 n1 n 2

B?
= 2

? P
?

C 的
10 10

A 余







co s ? n 1 , n 2 ? ?

5?2 2

, 于 是 二 面 角

B ? P C ? A 的正切值为 3.

法 2:设 A C 与 B D 交于点 O ,连接 O E .因为 P C ? *面 B D E , O E ? *面 B D E , B E ? *面 B D E ,所以 P C ? O E , P C ? B E ,于是 ? O E B 就是二面角 B ? P C ? A 的*面角.又因为 B D ? *面 P A C , O E ? * 面 P A C , 所 以 ? O E B 是 直 角三 角形. 由 ? O E C ∽ ? P A C 可 得
OE OC ? PA PC

,而 AB ? AD ? 2 ,所以

AC ? 2 2 , O C ?

2 ,而 P A ? 1 ,所以 P C ? 3 ,于是 O E ?
OB OE ? 3.

PA PC

? OC ?

1 3

?

2 ?

2 3

,而 O B ?

2 ,于是

二面角 B ? P C ? A 的正切值为

44. 【考点定位】本题考查直线与直线、直线与*面以及二面角等基础知识、考查空间想象能力、推理论

证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归的思想. 解:(1)以点 A 为原点建立空间直角坐标系,设 A B ? a ,则
A (0, 0, 0 ), D (0,1, 0 ), D 1 (0,1,1), E ( a 2 ,1, 0 ), B1 ( a , 0,1)

???? ? ???? ???? ??? ? a a ? A D 1 ? (0,1,1), B1 E ? ( ? ,1, ? 1), A B1 ? ( a , 0,1), A E ? ( ,1, 0 ) 2 2 ???? ???? ? a A D 1 ? B1 E ? ? ? 0 ? 1 ? 1 ? ( ? 1) ? 1 ? 0 ,故 B1 E ? A D1 2 ???? (2)假设在棱上存在一点 P (0, 0, t ) ,使得 D P / / *面 B1 A E ,则 D P ? (0, ? 1, t )

? ???? ? ? a x? z 0 ?n ? A 1 ? 0 B ? ? ? ? ? 设 * 面 B1 A E 的 法 向 量 为 n ? ( x , y , z ) , 则 有 ? ? ???? , 取 x ?1 , 可 得 ax ? y ? 0 ?n ? AE ? 0 ? ? ? 2
? ???? ? a n ? ( 1? , ?,a ,要使 D P / / *面 B1 A E ,只要 D P ? n ) 2
? a 2 ? at ? 0 ? t ? 1 2

,又 D P ? *面 B1 A E ,? 存在点 P 使 D P / / *面 B1 A E ,此时 A P ?

1 2

.

(3)连接 A1 D , B1C ,由长方体 A A1 ? A D ? 1 ,得 A1 D ? A D1
? B1C / / A1 D ,? A D 1 ? B1C ,由(1)知 B1 E ? A D1 ,故 A D1 ? *面 D C B1 A1 .

???? ? ???? ? A D 1 是*面 D C B1 A1 的法向量,而 A D 1 ? (0,1,1) ,则

???? ? ? ???? ? ? A D1 ? n ? co s ? A D 1 , n ? ? ???? ? ? | A D 1 || n |

?

a 2

?a a
2

2 ? 1?

?a

2

4
? 二面角是 3 0 ? ,所以,即 A B ? 2

45. 【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用.

从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度,并加以证明和求解. 解 : 设 A C ? B D ? O , 以 O 为 原 点 , OC 为 x 轴 , OD 为 y 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则
A ( ? 2 , 0, 0), C ( 2 , 0, 0), P ( ? 2 , 0, 2),

设 B (0, ? a , 0), D (0, a , 0), E ( x , y , z ) .
2 3 2 3

E(

, 0,

)

(Ⅰ)
??? ? PC ? (





:



PE ? 2 EC



,





2 ?

2

,

,

??? ? 2 2 BE ? ( , a, ) 0 , 3 3 2

,

)

???? B D ? (0, 2 a , 0)

,





???? ???? P C ? B E ? ( 2 2 , 0, ? 2 ) ? (

2 3

, a,

2 3

)?0

,

??? ???? ? ??? ? ??? ??? ? ? ???? P C ? B D ? (2 2 , 0, ? 2) ? (0, 2 a , 0) ? 0 .所以 P C ? B E , P C ? B D ,所以 P C ? *面 B E D ;

(Ⅱ)

? ??? ? ??? ? n ? ( x , y , z ) 又 A P ? (0, 0, 2), A B ? ( 2 , ? a , 0) , 由 设 * 面 PAB 的 法 向 量 为 ,

? 2 ? ??? ? ? ??? ? n ? (1, , 0) n ? A P ? 0, n ? A B ? 0 得 a ,设*面 PBC 的法

?? ??? ? ??? ? m ? ( x , y , z ) ,又 B C ? ( 2 , a , 0), C P ? ( ? 2 2 , 0, 2) , 向量为
?? ??? ? ?? ??? ? m ? B C ? 0, m ? C P ? 0
?

z A1 (0,0,2 3) M

?? m ? (1, ?

2 a

,

2)



,得

,由于二面
D (-2,0,0)

E (-2,2,0) y B (0,3,0)

?? ? m ? n ? 0 ,解得 a ? 角 A ? P B ? C 为 90 ,所以

2.

C (0,0,0) x

所 以

???? PD ? (

2 ,

? , 2

) , 2* 面 PBC 的 法 向 量 为
???? ??? ? | PD ? m | 1 ???? ???? ? ? | P D | ?| m | 2

?? m ? ( 1?,

1 ,

2 ) ,所以 P D 与*面 P B C 所成角的正弦值为

,所以 P D 与*面 P B C 所成

?

角为 6 . 【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们*时练*的试题和相似,底面也是特殊的菱形,一 个侧面垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是点 E 的位置的选择是一般的三等分点,这样的 解决对于学生来说就是比较有点难度的,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好. 46. 【考点定位】此题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答.第三问的 创新式问法,难度非常大. 解: (1)?
CD ? DE

, A1 E

? DE

? D E ? *面 A1 C D ,

又?

A1 C ?

*面 A1 C D ,

? A1 C ? D E

又 A1 C

? CD

,

? A1 C ? *面 B C D E

(2)如图建系 C ? xyz ,则 D ? ? 2 ,0 ,0 ? , A ? 0 ,0 ,2 ∴ A1 B
???? ? 0 ,3 ,? 2 3

3

? , B ? 0 ,3 ,0 ? , E ? ? 2 ,2 ,0 ?

?

? , A E ? ? ? 2 ,? 1 ,0 ?
1

???? ?

???? ? ? ? A1 B ? n ? 0 ?3 y ? 2 3 z ? 0 ? ? 设*面 A1 B E 法向量为 n ? ? x , y , z ? ,则 ? ???? ? ∴? ? A1 E ? n ? 0 ??2 x ? y ? 0 ? ? ?
?

? 3 y ?z ? ? 2 ∴? ?x ? ? y ? ? 2

∴n

? ? 1 ,2 , 3

?

? 又∵ M ? ? 1 ,0 , 3 ? ∴ C M ? ? ? 1 ,0 , 3 ?
1? 3 1? 4 ? 3 ? 1? 3 ? 4 2?2 2 ? 2 2

???? ?

???? ? ? CM ? n ???? ? ? ? ∴ co s ? ? | CM | ? | n |

∴ C M 与*面 A1 B E 所成角的大小 45? 点 坐 标 为 ? 0 , a ,0 ? , 则
a ? ? 0 ,3 ?

(3) 设 线 段

BC

上 存 在 点 P
????

, 设 P



???? A1 P ? 0 ,a ,? 2 3

?

? , D P ? ? 2 ,a ,0 ?
? 3 a y1 ? z1 ? ? 6 ∴? ? x ? ? 1 ay 1 ? 1 ? 2

设*面

?? ? ? a y ? 2 3 z1 ? 0 ? A1 D P 法向量为 n1 ? ? x1 , y 1 , z 1 ? ,则 ? 1 ? 2 x1 ? a y 1 ? 0 ?
?? ? ?

∴ n1

?? ?

? ? 3 a ,6 , 3 a

?

?

假设*面 A1 D P 与*面 A1 B E 垂直,则 n1 ? n ? 0 ,∴ 3 a ? 12 ? 3 a ∵0 ?
a ?3

? 0 , 6 a ? ? 12 , a ? ? 2

∴不存在线段 B C 上存在点 P ,使*面 A1 D P 与*面 A1 B E 垂直

47. 【解析】(I)取 B C , B1C 1 的中点为点 O , O 1 ,连接 A O , O O 1 , A1O , A1O 1

则 A B ? A C ? A O ? B C ,面 A B C ? 面 B B1C 1C ? A O ? 面 B B1C 1C 同理: A1 O 1 ? 面 B B1C 1C 得: A O / / A1O1 ? A , O , A1 , O 1 共面 又 O O1 ? B C , O O1 ? A O ? O ? B C ? 面 A O O1 A1 ? A A1 ? B C (Ⅱ)延长 A1 O 1 到 D ,使 O1 D ? O A 得: O1 D / /O A ? A D / /O O 1

O O1 ? B C ,面 A1 B1 C 1 ? 面 B B1 C 1C ? O O 1 ? 面 A1 B1C 1 ? A D ? 面 A1 B1 C 1
A A1 ? AD ? DA
2 2

?

4 ? ( 2 ? 1) ? 5
2 2

(Ⅲ) A O ? B C , A1O ? B C ? ? A O A1 是二面角 A ? B C ? A1 的*面角 在 R t ? O O 1 A1 中, A 1 O ?
O O 1 ? A1O 1 ?
2 2
2 2

4 ?2 ? 2 5
2 2
2

在 R t ? O A A1 中, co s ? A O A1 ?

A O ? A1 O ? A A1 2 A O ? A1 O

? ?

5 5

得:二面角 A ? B C ? A1 的余弦值为 ?

5 5

.


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